Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 9 & - 36 & 30 \\ - 36 & 192 & - 180 \\ 30 & - 180 & 180 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}]$

Step 1

O kernel de uma transformação é um vetor que torna a transformação igual ao vetor zero (a imagem recíproca da transformação).

$[\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}] = 0$

Step 2

Crie um sistema de equações a partir da equação vetorial.

$15 = 0$

$- 48 = 0$

$30 = 0$

Step 3

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$0 = - 15$

$- 48 = 0$

$30 = 0$

Step 4

Some $48$ aos dois lados da equação.

$0 = 48$

$0 = - 15$

$30 = 0$

Step 5

Subtraia $30$ dos dois lados da equação.

$0 = - 30$

$0 = - 15$

$0 = 48$

Step 6

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} - 15 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Step 7

Encontre a forma escalonada reduzida por linha da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Realize a operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} R_{1} \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{15}) \cdot (- 15) \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 48 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 30 \end{array}]$

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 48) \cdot (1) + 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 30 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 30 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (30) \cdot (1) - 30 \end{array}]$

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 8

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$0 = 1$

Step 9

Essa expressão é o conjunto de soluções do sistema de equações.

${}$

Step 10

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 11

O espaço nulo do conjunto é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 12

O kernel de $M$ é o subespaço ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$